Nature d'un triangle

Soit \(\text{EFGH}\) un rectangle tel que :

• \(\text{EH} = 2\) et \(\text{EF} = 3\) ;
  
• \(\text{M}\) est le milieu du segment \([\text{FG}]\) ;
  
• \(\text{K}\) est défini par \(\overrightarrow{\text{HK}} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{HG}}\) ;
  
• \(\text{L}\) est le projeté orthogonal de \(\text{K}\) sur la droite \((\text{EM})\).

1. Démontrer que \(\overrightarrow{\text{EK}} \cdot \overrightarrow{\text{EM}} = 5\).
On pourra utiliser la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs \(\overrightarrow{\text{EK}}\) et \(\overrightarrow{\text{EM}}\).

2. Exprimer le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{EK}} \cdot \overrightarrow{\text{EM}}\) d'une autre manière, puis en déduire la distance \(\text{EL}\).

3. Exprimer le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{EK}} \cdot \overrightarrow{\text{EM}}\) d'une autre manière et en déduire la mesure en degrés de l'angle \(\widehat{\text{KEM}}\).

4. Déterminer la nature exacte du triangle \(\text{KEM}\).